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2.16 Beispiel-Aufgaben |
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2.16.4
Knotenspannungsanalyse |
2.16.4.1 Lösung
Für die Schaltung entsprechend der Abbildung mit
ist der Strom I10 gesucht.
- Zunächst werden Knotennummern vergeben wie in der Abbildung
bereits eingetragen.
Geschickte Wahl des Bezugspunktes 0 erleichtert die Berechnung. Im
Beispiel ist der Strom durch R10 gesucht, dafür
werden die Knotenspannungen ober- und unterhalb von
R10 benötigt. Wird der Bezugspunkt unterhalb des
Widerstandes gelegt, muss nur eine Knotenspannung zur Berechnung
des Stromes herangezogen werden.
Die rot gekennzeichneten Punkte erhalten keine Knotenspannung
zugewiesen, da sonst Zweige mit nur einer Spannungsquelle als
Element entstehen würden.
- Für alle Knoten i:
- Das Element mi,i auf der
Hauptdiagonale der Koeffizientenmatrix wird auf die Summe aller
Leitwerte vom Knoten i zu all seinen direkten Nachbarknoten
gesetzt.
- Für alle Stromquellen in den Zweigen zwischen Knoten i
und seinen direkten Nachbarn:
- Treibt die Stromquelle einen Strom in den Knoten i
hinein, erscheint der Strom unverändert als Summand in Zeile
i des Ergebnisvektors.
- Zieht die Stromquelle einen Strom aus dem Knoten i
heraus, erscheint der Strom mit -1 multipliziert als Summand in
Zeile i des Ergebnisvektors.
- Für alle realen Spannungsquellen (Spannungsquelle mit
Widerstand in Reihe) in den Zweigen zwischen Knoten i und
seinen direkten Nachbarn:
- Die reale Spannungsquelle muss in eine reale Stromquelle
gewandelt werden.
- Der Stromwert ergibt sich aus der Multiplikation der Spannung
mit dem Zweig-Leitwert (bzw. Division der Spannung durch den
Zweig-Widerstand).
- Zeigt der Spannungspfeil für den äußeren Spannungsabfall der
Spannungsquelle vom Knoten i weg, erscheint der Strom
unverändert als Summand in Zeile i des Ergebnisvektors.
Zeigt der Spannungspfeil zum Knoten i hin, wird der Strom
mit -1 multipliziert.
- Spannungs- und Stromquellen im Zweig zwischen zwei Knoten
i und j bewirken im Normalfall (i und j
sind nicht der Bezugspunkt 0) zwei Summanden mit unterschiedlichen
Vorzeichen im Ergebnisvektor in den Zeilen i und
j.
Quellen in Zweigen, die mit 0 verbunden sind, bewirken nur einen
Summanden.
- Für alle Zweige zwischen zwei direkt benachbarten Knoten
i und j:
- Die Matrixelemente mi,j und
mj,i werden auf den Gesamtleitwert
zwischen den Knoten i und j, multipliziert mit -1
gesetzt.
- Alle noch freien Stellen der Koeffizientenmatrix und des
Ergebnisvektors erhalten den Wert 0.
Das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise ist zu breit für
eine Darstellung hier innerhalb der Seite, über die nachfolgenden
Links kann es in verschiedenen Formaten in einem separaten
Browserfenster geöffnet werden:
SVG, PDF und PNG.
Mit der Beispieldatei wird das Gleichungssystem gelöst und
anschließend der Strom berechnet.
Die Koeffizientenmatrix und der Ergebnisvektor werden hier nicht
durch Eingabe aller Werte erzeugt. Stattdessen werden zunächst eine
Nullmatrix und ein Nullvektor angelegt, Wertzuweisungen erfolgen
dann nur für die besetzten Stellen.
oc0052.m
# Gegebene Werte eingeben
R1 = 50.0; R2 = 1.0e3; R3 = 0.5e3;
R4 = 1.0e3; R5 = 1.5e3; R6 = 2.0e3;
R7 = 1.5e3; R8 = 2.0e3; R9 = 2.5e3;
R10 = 3.0e3; R11 = 2.5e3;
Uq1 = 1.5; Uq2 = 3.0; Uq3 = 4.5;
Iq1 = 2.0e-3; Iq2 = 4.0e-3;
# Leitwerte berechnen
G1 = 1.0 / R1; G2 = 1.0 / R2; G3 = 1.0 / R3;
G4 = 1.0 / R4; G5 = 1.0 / R5; G6 = 1.0 / R6;
G7 = 1.0 / R7; G8 = 1.0 / R8; G9 = 1.0 / R9;
G10 = 1.0 / R10; G11 = 1.0 / R11;
# Null-Matrix und y-Vektor in passender Groesse anlegen
m = zeros(7,7);
y = [ 0 0 0 0 0 0 0 ]';
# Einzelne Elemente gezielt setzen
m(1,1) = G7+G10;
m(1,2) = -G7;
m(2,1) = -G7;
m(2,2) = G1+G6+G7;
m(2,3) = -G1;
m(3,2) = -G1;
m(2,5) = -G6;
m(5,2) = -G6;
m(3,3) = G1+G2;
m(3,4) = -G2;
m(4,3) = -G2;
m(4,4) = G2+G3+G5;
m(4,5) = -G5;
m(5,4) = -G5;
m(4,6) = -G3;
m(6,4) = -G3;
m(5,5) = G4+G5+G6+G8+G11;
m(5,6) = -G4;
m(6,5) = -G4;
m(5,7) = -G8;
m(7,5) = -G8;
m(6,6) = G3+G4;
m(7,7) = G8+G9;
y(2) = -Iq2 -Uq2*G1;
y(3) = Uq2*G1+Iq1-Uq1*G2;
y(4) = Uq1*G2;
y(5) = -Uq3*G11;
y(6) = -Iq1;
y(7) = Iq2;
# Gleichungssystem loesen
x = inv(m) * y;
# Gesuchten Strom aus Knotenspannung berechnen und ausgeben
I10 = x(1) * G10;
printf('I = %g\n', I10);