4 wxMaxima | |
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Die Aufgabenstellung für dieses Beispiel und Teile der Lösung wurden aus [Lun06] übernommen.
Für den oben abgebildeten Reihenschwingkreis soll das
Zustandsraummodell aus den physikalischen Grundbeziehungen
aufgestellt werden.
Dabei ist u1 die Eingangsgröße des Systems,
u2 die Ausgangsgröße.
Alle Ableitungen auf die linke Seite, nicht abgeleitete Größen auf die rechte Seite.
Der Spaltenvektor z fasst die zeitabhängigen Größen
zusammen. Oben (in Gruppe 1) stehen die Größen, die auch nach der
Zeit abgeleitet in den Gleichungen vorkommen. Danach (in Gruppe 2)
folgen die Größen, deren Ableitungen nicht vorkommen.
Damit wollen wir in der später aufzustellenden Matrix E eine
Konzentration der besetzten Stellen in den linken Spalten
erreichen.
Innerhalb jeder Gruppe stehen zuerst die Größen, die an der Bildung des Ausgangssignales beteiligt sind.
Die Gleichungen werden so geordnet, dass zuerst alle Gleichungen
geschrieben werden, die Ableitungen nach der Zeit enthalten, danach
alle anderen.
Damit wollen wir in der später aufzustellenden Matrix E eine
Konzentration der besetzten Stellen in den oberen Zeilen
erreichen.
Soweit möglich enthält Gleichung i eine Ableitung des
i-ten Elementes von z (Gleichungen mit Ableitungen)
oder zumindest das i-te Element des Vektors (Gleichungen
ohne Ableitungen).
Damit wollen wir in den später aufzustellenden Matrizen E
und F die besetzten Stellen soweit wie möglich auf die
Hauptdiagonale konzentrieren.
Das Deskriptorsystem
wird aufgestellt:
Die Matrix E hat bereits die für die Überführung in das Zustandsraummodell notwendige Form, d.h. die besetzten Stellen sind in den linken Spalten der oberen Zeilen zusammengefasst.
Der Rang der besetzten Teilmatrix von E ist 2. Dementsprechend zerlegen wir die Matrizen und Vektoren folgendermaßen:
Mit den Formeln nach [Lun06]
wird das Deskriptorsystem in das Zustandsraummodell überführt.
Dabei überlassen wir alle Berechnungen Maxima:
E11: matrix([C, 0], [0, L])$ F11: matrix([0, 1], [0, 0])$ F12: matrix([0, 0, 0], [0, 1, 0])$ F21: matrix([0, -R], [1, 0], [1, 0])$ F22: matrix([1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 0, -1])$ g1: matrix([0], [0])$ g2: matrix([ 0], [-1], [ 0])$ h1: matrix([1, 0])$ h2: matrix([1, 0, 0])$ k: 0$ disp("E11 invers")$ E11inv: invert(E11); disp("F22 invers")$ F22inv: invert(F22); disp("A")$ E11inv . (F11 - F12 . F22inv . F21); disp("b")$ E11inv . (g1 - F12 . F22inv . g2); disp("c")$ h1 - h2 . F22inv . F21; disp("d")$ k - h2 . F22inv . g2;
Mit der Ausgabe von wxMaxima erhalten wir das Zustandsraummodell:
[Lun06] | Jan Lunze Regelungstechnik 1 Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 2006 |