Abtasttheorem

© C. Roppel, Fachhochschule Schmalkalden, Fachbereich Elektrotechnik

Beschreibung

Das obere Bild zeigt eine Sinusschwinung der Frequenz f und deren Abtastwerte. Das untere Bild zeigt das Fourier-Spektrum S(f) des abgetasteten Signals. Es besteht aus zwei spektralen Linien bei ±f und deren periodischer Wiederholung im Abstand der Abtastrate (Subscript[f, A]). Damit ein Signal gemäß dem Abtasttheorem eindeutig durch seine Abtastwerte repräsentiert ist, muss f ≤ (Subscript[f, A])/2 gelten. Für f > (Subscript[f, A])/2 kommt es zu Aliasing. Im Bereich 0 ≤ f ≤ (Subscript[f, A])/2 erscheint im Spektrum eine Linie bei der Frequenz |f - (Subscript[f, A])|. Im oberen Bild erscheint die zugehörige Sinusschwingung in der Farbe der spektralen Linie.

Vgl. auch Kapitel 3-1 in [Roppel, C.: Grundlagen der digitalen Kommunikationstechnik, Hanser Verlag, 2006].

Manipulate[
fmax = fa + 2000;
GraphicsColumn[{Show[Plot[Sin[2 π f t],{t,0, 0.001}, PlotRange->{-1.1, 1.1},PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1]}}],ListPlot[Table[{t, Sin[2 π f t]}, {t, 0, 0.001, 1/fa}],PlotMarkers->{Automatic}, Filling->Axis,FillingStyle->Blue], If[f > fa/2, Plot[Sin[2 π (f-fa) t],{t,0, 0.001}, PlotRange->{-1.1, 1.1},PlotStyle->{If[f > fa, Green,Red], Dashing[{0.01, 0.01}]}], Graphics[]], Frame->True,FrameLabel->{{None, None}, {"t [s]","sin(2πft)"}}, FrameTicks->{Automatic, None}, AspectRatio->0.35, ImageSize->{400,200}],
Graphics[
{{Blue, Arrowheads[Large], Arrow[{{f,0},{f,1}}], Arrow[{{-f,0},{-f,1}}]},
{Red, Arrowheads[Large], Arrow[{{f+fa,0},{f+fa,1}}], Arrow[{{-f+fa,0},{-f+fa,1}}]},
{Green, Arrowheads[Large], Arrow[{{f-fa,0},{f-fa,1}}], Arrow[{{-f-fa,0},{-f-fa,1}}]},
{Brown, Arrowheads[Large], Arrow[{{f+2 fa,0},{f+2 fa,1}}], Arrow[{{-f+2 fa,0},{-f+2 fa,1}}]},
{Gray, Arrowheads[Large], Arrow[{{f-2 fa,0},{f-2 fa,1}}], Arrow[{{-f-2 fa,0},{-f-2 fa,1}}]},
{Dashed, Line[{{-fa,0},{-fa,1}}], Line[{{fa,0},{fa,1}}]}, Text["(Subscript[f, A])", {fa, 1.1}], Text["-(Subscript[f, A])", {-fa, 1.1}]}, Frame->True, Axes->True, PlotRange->{{-fmax, fmax}, {0, 1.2}}, FrameLabel->{{None, None}, {"f [Hz]", "S(f)"}}, FrameTicks->{Automatic, None}, AspectRatio->0.35, PlotRangeClipping->True, ImageSize->{400,200}]}],
Style["Frequenz",Bold],
{{f, 1000, "f [Hz]"}, 1000, 10000, 1,Appearance->"Labeled",ImageSize->Small},
Delimiter,
Style["Abtastrate",Bold],
{{fa, 16000, "(Subscript[f, A])"}, {8000  ->"8 kHz", 16000 ->"16 kHz", 48000 ->"48 kHz"}},
ControlPlacement->Left, SaveDefinitions->True]